数値解析まとめ

• 誤差の話
  • 絶対誤差と相対誤差
  • 誤差の種類
• 非線形方程式の解法
  • ２分法
    • 根の存在区間が必要
    • 必ず収束するが，遅い
  • はさみうち法(*)
    • 分母が小さくなるとオーバーフローが起こる可能性がある
    • 実は２分法より複雑な割に役に立たない
  • ニュートン法
    • 直接法に対する利点:収束が早い
    • 直接法に対する欠点:収束するとは限らない
  • セカント法
    • 導関数が解析的に求められないときに使う
    • 予想出題率１０％
• 連立１次方程式の解法
  • ガウスの消去法
  • LU分解法
  • ヤコビ法(*)
  • ガウス・ザイテル法
    • ヤコビに対する利点:収束が早い,メモリをけちれる
    • ヤコビに対する欠点:ヤコビでは収束するがガウスザイテルでは収束しない場合がある(らしい)
• 補間法
  • ラグランジュ補間
  • ニュートンの前進差分公式
    • データが等間隔に並んでいる場合，計算しやすい
    • データの追加が容易
• 数値積分法
  • 台形公式
  • シンプソンの公式
  • ロンバーグ積分
    • 丸め誤差の影響を受けずに精度の高い解が得られる
    • 刻み幅ｈの設定に悩まなくていい
    • 計算量はかなりある
• 最小２乗法(*)

(*)は教科書に載ってない

聞かれそうな問題

• ガウスの消去法よりLU分解のほうがうれしい点

"同一の係数行列を用いて複数の連立一次方程式を解く場合に，
最初にLU分解をしておくことで，後の計算量がO(n2)となり，少なくなる利点がある
(通常はO(n3))．"
詳しく知りたきゃ
http://mikilab.doshisha.ac.jp/dia/research/report/2002/0612/018/report20020612018.html

• 補間法と最小２乗法の違い

補間法はデータセットを必ず通るが，最小２乗法は必ずしも全て通らない(というかほとんど通らない)

• 高次のラグランジュ補間を行うと誤差がかえって増大する理由

データセットに誤差が含まれる場合，高次関数で補間すると振動が激しくなるから